3 most important points
- 四元数空间的基向量是 ，虚数能丝滑表示旋转
- 四元数可以避免欧拉角带来的困难与歧义（比如 与 ）
- 通过四元数乘法 即可计算点 旋转后的位置，
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- 欧拉角描述旋转结果，而四元数描述旋转过程
- “三明治”乘法是为了消除拉伸虚数轴带来的空间扭曲
Notes
四元数的四个数字由一个实部和三个虚部组成，是一个超复数形式：
四元数能够很好地表示四维旋转。
从复平面开始，以实数为 轴，虚数为 轴，将平面上任意向量乘以 表示逆时针旋转 。
从基向量来看整个空间的变化，，即：
而 ，即：
这是一个逆时针旋转 的线性变换：
增加一个虚数轴，使 为基向量，就可以类似地描述三维空间中的旋转；而再增加一个虚数轴，使 为基向量，就是四元数。
四元数与向量
注意到，向量其实是实部为 0 的四元数 向量叉乘是四元数乘法的一部分：
等式右侧就是三阶行列式公式
用叉乘描述四元数乘法：
四维旋转如何映射到三维空间呢？这就需要用到球极投影（Stereographic projection）
以 空间为例，从点 出发，与单位球每个点的连线过 平面的点，就是该单位球在 平面上的球极投影。
由此，四维球体被投影到 三维空间；当四维球体沿 平面旋转时，可视作 轴上 的循环，每个节点代表逆时针旋转 。
同时, 空间的三维球体（与 轴垂直）也在随四维球体旋转而旋转，它在 平面的投影平面随之转动，如下图所示：
对空间的任何变换都可以通过对基向量进行线性变换来表示，也可以用四元数乘法来表示空间旋转。
假设在 空间中有向量 和 ：
分数部分表示 起到的旋转作用，括号部分表示 对 起到的放缩作用。
左乘时， 对 的旋转作用遵循右手螺旋定则；右乘时，遵循左手螺旋定则。 上图中为右手螺旋定则，即大拇指为 轴朝向， 平面的转动方向为四指朝向
为什么使用四元数来描述三维旋转？
通常，欧拉角可以正确表示物体姿态，但当任意两条旋转轴重合时，系统就会失去一个自由度；在两个不同方向上插值时，也会造成困难和歧义。
而四元数可以完全避免上述问题： 四元数比三维多一个维度，且在三维投影空间中的一个点同时对应四维空间中的两个点，解决了旋转过程中 与 带来的纷争。
可以说： 欧拉角描述旋转结果，而四元数描述旋转过程。
通过这一公式就可以轻松计算某个点经过某个角度旋转后的位置：
记旋转轴对应的实部为 0 的单位向量为 ，则：
采用“三明治”乘法的原因是需要保持在 空间中三维球体的形态。
以 轴为例，当改变 中 的参数 时， 轴的单位向量实际上在被拉伸——从 到无穷远（-1），但是此时 仅按照右手定则顺时针旋转，尺度不改变。这会导致整个三维空间的形变；而为了取消这一形变，在 的 的恰好是 的 的负数。
了解“三明治”的作用后，理解这个式子就简单了：
左乘是按右手定则旋转，右乘是按左手定则旋转，相当于在取消形变的同时，按照相同方向各旋转一半的目标角度。
当然，也可以先沿 转 ，再沿 转 ，也就是：
二者等价，展开后各参数一致。